Фрактальная размерность изображения равна 2. Фрактальная размерность. Пример определения фрактальной размерности

Довольно часто приходится слышать разговоры о связи между различными валютами на рынке Форекс.

Основное обсуждение при этом обычно сводится к фундаментальным факторам, практическому опыту или просто домыслам, обусловленными личными стереотипами говорящего. Как крайний случай, выступает гипотеза одной или нескольких «мировых» валют, которые «тянут» за собой все остальные.

Действительно, какова связь между различными котировками? Движутся ли они согласованно или информация о направлении движения одной валюты ничего не скажет о движении другой? В этой статье предпринята попытка разобраться в этом вопросе, используя методы нелинейной динамики и фрактальной геометрии.

1. Теоретическая часть

1.1. Зависимые и независимые переменные

Рассмотрим две переменные (котировки) x и y. В любой момент времени, мгновенные значения этих переменных определяют точку на плоскости XY (рис. 1). Движение точки с течением времени образует траекторию. Форма и тип этой траектории будут определяться типом связи между переменными.

Например, если переменная x никак не связана с переменной y, то мы не увидим никакой регулярной структуры: при достаточном количестве точек, они равномерно заполнят плоскость XY (рис.2).

Если же зависимость между x и y существует, то будет видна некоторая регулярная структура: в простейшем случае это будет кривая (рис. 3),

Рисунок 3. Наличие корреляций - кривая

хотя может быть и более сложная структура (рис. 4).

То же самое характерно для трех- и более -мерного пространства: если между всеми переменными есть связь или зависимость, то точки будут образовывать кривую (рис. 5), если в наборе присутствуют две независимые переменные, то точки образуют поверхность (рис. 6), если три - то точки заполнят трехмерное пространство и т.д.

Если связи между переменными нет, то точки равномерно распределятся по всем доступным измерениям (рис. 7). Таким образом, мы можем судить о характере связи между переменными, определяя, каким образом точки заполняют пространство.

Причем форма получившейся структуры (линии, поверхности, объемной фигуры и т.д.), в данном случае, не имеет значения.

Важна фрактальная размерность этой структуры: линия имеет размерность равную 1, поверхность - 2, объемная структура - 3 и т.д. Обычно можно считать, что значение фрактальной размерности соответствует количеству независимых переменных в наборе данных.

Также мы можем встретиться с дробной размерностью, например, 1.61 или 2.68. Такое может произойти, если получившаяся структура окажется фракталом - самоподобным множеством с нецелой размерностью. Пример фрактала приведен на рисунке 8, его размерность приблизительно равна 1.89, т.е. это уже не линия (размерность равна 1), но еще не поверхность (размерность равна 2).

Фрактальная размерность может быть разной для одного и того же множества на разных масштабах.

Например, если смотреть на множество, изображенное на рисунке 9 «издалека», то ясно видно, что это линия, т.е. фрактальная размерность этого множества равна единице. Если же посмотреть на это же множество «вблизи», то увидим что это совсем не линия, а «расплывчатая труба» - точки не образуют четкую линию, но случайным образом собраны вокруг нее. Фрактальная размерность этой «трубы» должна быть равна размерности пространства, в котором мы рассматриваем нашу структуру, т.к. точки в «трубе» равномерно заполнят все доступные измерения.

Увеличение фрактальной размерности на малых масштабах дает возможность определить размер, при котором связи между переменными становится неразличимы из-за присутствующего в системе случайного шума.

Рисунок 9. Пример фрактальной "трубы"

1.2. Определение фрактальной размерности

Для определения фрактальной размерности можно использовать box-counting алгоритм, основанный на исследовании зависимости количества кубиков, содержащих точки множества, от размера ребра кубика (здесь имеются ввиду не обязательно трехмерные кубики: в одномерном пространстве «кубиком» будет отрезок, в двумерном - квадрат и т.д.).

Теоретически, эта зависимость имеет вид N(ε)~1/ε D , где D – фрактальная размерность множества, ε - размер ребра кубика, N(ε) – количество кубиков, содержащих точки множества при размере кубика ε. Это позволяет определить фрактальную размерность

Не вдаваясь в детали алгоритма, его работу можно описать следующим образом:

Исследуемое множество точек разбивается на кубики размера ε и считается количество кубиков N, содержащих хотя бы одну точку множества.

Для разных ε определяется соответствующее значение N, т.е. накапливаются данные для построения зависимости N(ε).

Зависимость N(ε) строится в двойных логарифмических координатах и определяется угол ее наклона, который и будет значением фрактальной размерности.

Например, на рисунке 10 изображены два множества: плоская фигура (а) и линия (б). Ячейки содержащие точки множества окрашены серым цветом. Подсчитывая, количество «серых» ячеек при разных размерах ячеек, получаем зависимости изображенные на рисунке 11. Определяя наклон прямых, аппроксимирующих эти зависимости, находим фрактальные размерности: Dа≈2,Dб≈1.

На практике для определения фрактальной размерности обычно используют не box-counting, а алгоритм Грассберга-Прокаччиа, т.к. он дает более точные результаты в пространствах высокой размерности. Идея алгоритма заключается в получении зависимости С(ε) - вероятности попадания двух точек множества в ячейку размера ε от размера ячейки и определении наклона линейного участка этой зависимости.

К сожалению, рассмотрение всех аспектов определения размерности невозможно в рамках данной статьи. При желании, вы сможете найти необходимую информацию в специальной литературе.

1.3. Пример определения фрактальной размерности

Чтобы убедится в работоспособности предложенной методики, попробуем определить уровень шума и количество независимых переменных для множества изображенного на рисунке 9. Это трехмерное множество состоит из 3000 точек и представляет из себя линию (одна независимая переменная) с наложенным на нее шумом. Шум имеет нормальное распределение при СКО равном 0.01.

На рисунке 12 показана зависимость С(ε) в логарифмическом масштабе. На ней мы видим два линейных участка, пересекающихся при ε≈2 -4.6 ≈0.04. Наклон первой прямой ≈2.6, а второй ≈1.0.

Полученные результаты означают, что тестовое множество имеет одну независимую переменную на масштабе большем 0.0 и «почти три» независимые переменные или наложенный шум на масштабе меньшем 0.04. Это хорошо согласуется с исходными данными: согласно правилу «трех сигм», 99.7% точек образуют «трубу» диаметром 2*3*0.01≈0.06.

Рисунок 12. Зависимость C(e) в логарифмическом масштабе

2. Практическая часть

2.1. Исходные данные

Для изучения фрактальных свойств рынка Форекс, были использованы общедоступные данные, охватывающие период с 2000 по 2009 год включительно. Исследование проводилось на ценах закрытия семи основных валютных пар: EURUSD, USDJPY, GBPUSD, AUDUSD, USDCHF, USDCAD, NZDUSD.

2.2. Реализация

Алгоритмы определения фрактальной размерности реализованы в виде функций среды MATLAB на базе разработок профессора Майкла Смолла (Dr Michael Small ). Функции с примерами использования доступны в архиве frac.rar приложенном к данной статье.

Для ускорения вычислений, наиболее трудоемкий этап выполнен на языке Си. Перед началом использования, вам необходимо скомпилировать Си-функцию "interbin.c" с помощью команды MATLAB "mex interbin.c".

2.3. Результаты исследования

На рисунке 13 показано совместное движение котировок EURUSD и GBPUSD с 2000 по 2010 год. Сами значения котировок показаны на рисунках 14 и 15.

Фрактальная размерность множества, изображенного на рисунке 13, приблизительно равна 1.7 (рис. 16). Это означает, что движение EURUSD + GBPUSD не образует «чистого» случайного блуждания, иначе размерность была бы равна 2 (размерность случайного блуждания, в двух- и более мерных пространствах всегда равна 2).

Тем не менее, так как движение котировок очень похоже на случайное блуждание, то мы не можем изучать непосредственно сами значения котировок - при добавлении новых валютных пар, фрактальная размерность изменяется незначительно (табл. 1) и никаких выводов сделать не удастся.

Таблица 1. Изменение размерности при увеличении числа валют

Чтобы получить более интересные результаты, следует перейти от самих котировок, к их изменениям.

В таблице 2 приведены значения размерности для разных интервалов приращений и разного количества валютных пар.

	Даты	Количество точек	EURUSD GBPUSD	+USDJPY	+AUDUSD	+USDCHF	+USDCAD	+NZDUSD
M5	14 Aug 2008 - 31 Dec 2009	100000	1.9	2.8	3.7	4.4	5.3	6.2
M15	18 Nov 2005 - 31 Dec 2009	100000	2	2.8	3.7	4.5	5.9	6.7
M30	16 Nov 2001 - 31 Dec 2009	100000	2	2.8	3.7	4.5	5.7	6.8
H1	03 Jan 2000 - 31 Dec 2009	61765	2	2.9	3.8	4.6	5.6	6.5
H4	03 Jan 2000 - 31 Dec 2009	15558	2	3	4	4.8	5.9	6.3
D1	03 Jan 2000 - 31 Dec 2009	2601	2	3	4	5.1	5.7	6.5

Таблица 2. Изменение размерности при разных интервалах приращений

Если валюты связаны между собой, то при добавлении каждой новой валютной пары, фрактальная размерность должна увеличиваться все меньше и меньше и, в итоге, должна сойтись к некоторому значению, которое покажет количество «свободных переменных» на валютном рынке.

Также, если предположить, что на котировки накладывается «рыночный шум», то на малых интервалах (М5, М15, М30) возможно заполнение всех доступных измерений шумом и этот эффект должен ослабевать на больших таймфреймах «обнажая» зависимости между котировками (аналогично как в тестовом примере).

Как видно из таблицы 2, эта гипотеза не нашла подтверждения на реальных данных: на всех таймфремах множество заполняет все доступные измерения, т.е. все валюты независимы друг от друга.

Это несколько противоречит интуитивным убеждениям о связи валют. Кажется, что близкие валюты, например GBP и CHF или AUD и NZD должны показывать схожую динамику. Например, на рисунке 17 показаны зависимости приращений NZDUSD от AUDUSD для пятиминутных (коэффициент корреляции 0.54) и дневных (коэффициент корреляции 0.84) интервалов.

Рисунок 17. Зависимости приращений NZDUSD от AUDUSD для M5 (0.54) и D1 (0.84) интервалов

Из этого рисунка видно, что при увеличении интервала, зависимость все больше вытягивается по диагонали и коэффициент корреляции увеличивается. Но, с «точки зрения» фрактальной размерности, уровень шума слишком высок, чтобы считать эту зависимость одномерной линией. Возможно, на более длительных интервалах (недели, месяцы) фрактальные размерности сойдутся к некоторому значению, но у нас нет возможности это проверить - слишком мало точек для определения размерности.

Заключение

Конечно, интереснее было бы свести движение валют к одной или нескольким независимым переменным - это серьёзно бы упростило задачу восстановления рыночного аттрактора и прогнозирования котировок. Но рынок показывает другой результат: зависимости слабо выражены и «хорошо спрятаны» в большом количестве шума. В этом плане, рынок очень эффективен.

Методы нелинейной динамики, стабильно показывающие хороший результат в других областях: медицине, физике, химии, биологии и пр, при анализе рыночных котировок требуют особого внимания и аккуратной интерпретации результатов.

Полученные результаты, не позволяют однозначно утверждать о наличии или отсутствии связи между валютами. Можно лишь сказать, что на рассматриваемых таймфреймах уровень шума сопоставим с «силой» связи, поэтому вопрос о связи между валютами остается открытым.

Предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.

Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа . Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.

Примеры

Более подробно

Неформальное рассуждение, показывающее это, таково. Отрезок можно разбить на 2 части, подобные исходному отрезку с коэффициентом 1/2. Чтобы покрыть отрезок множествами диаметра 1 / n , нужно покрыть каждую из половин такими множествами. Но для половины их нужно столько же, сколько для всего отрезка множеств диаметра 2 / n . Поэтому для отрезка имеем . То есть, при увеличении n в два раза ρ(n ) увеличивается тоже в два раза. Иными словами, ρ(n ) - линейная функция.

Для квадрата аналогичное рассуждение дает . То есть, при увеличении n в два раза ρ(n ) увеличивается в 4 раза. Иными словами, ρ(n ) - квадратичная функция. Наконец, кривая Коха состоит из 4 частей, каждая из которых подобна исходной кривой с коэффициентом 1/3. Поэтому для неё . Подставляя n = 3 k , получаем . Отсюда следует, что размерность равна ln4 / l n 3 .

Формально: пусть n - шаг фрактала, на n-ом шаге у нас будет 4 n равных отрезков, длиной 3 − n . Возьмём за ε отрезок длиной 3 − n , тогда чтобы покрыть всю кривую Коха, нам понадобится 4 n отрезков. Для того, чтобы выполнялось условие ε→0, устремим n→. Получим

Свойства

Размерность Минковского конечного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В отличие от размерности Хаусдорфа , это неверно для счётного объединения. Например, множество рациональных чисел между 0 и 1 имеет размерность Минковского 1, хотя является счётным объединением одноэлементных множеств (размерность каждого из которых равна 0). Пример замкнутого счётного множества с ненулевой размерностью Минковского приведён выше.
Нижняя размерность Минковского любого множества больше либо равна его размерности Хаусдорфа.
Размерность Минковского любого множества равна размерности Минковского его замыкания. Поэтому имеет смысл говорить лишь о размерностях Минковского замкнутых множеств.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Фракия (ист. область на Балканском п-ве)
Фрактальная вселенная

Смотреть что такое "Фрактальная размерность" в других словарях:

Размерность (значения) - Размерность: В математике Теория размерности часть топологии, в которой изучаются размерности числовые топологические инварианты определённого типа. Размерность пространства количество независимых параметров, необходимых для… … Википедия

Размерность - Размерность: В математике Теория размерности часть топологии, в которой изучаются размерности числовые топологические инварианты определённого типа. Размерность пространства количество независимых параметров, необходимых для описания состояния… … Википедия

Фрактальная графика - Множество Мандельброта классический образец фрактала Фрактал (лат. fractus дробленый) термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре… … Википедия

Фрактальная вселенная

Фрактальная космология - Теория бесконечной вложенности материи (фрактальная теория) в противоположность атомизму, альтернативная философская, физическая и космологическая теория. Данная теория основывается на индуктивных логических выводах о строении наблюдаемой… … Википедия

Фрактальная теория - Теория бесконечной вложенности материи (фрактальная теория) в противоположность атомизму, альтернативная философская, физическая и космологическая теория. Данная теория основывается на индуктивных логических выводах о строении наблюдаемой… … Википедия

Турбулентность - О фильме с таким названием см. Турбулентность (фильм). Механика сплошных сред … Википедия

Беспорядочное течение

Турбулентный поток - Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса … Википедия

Турбуленция - Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса … Википедия

Книги

Динамический хаос , С. П. Кузнецов. Излагаются основы представлений о динамическом хаосе - феномене, который активно исследуется в последнее время и встречается в нелинейных системах различной природы - механических,…

Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия» возникли в 70-80-х годах прошлого века. Они прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово «фрактал» происходит от латинского fractus, что в переводе означает дробный, состоящий из фрагментов. Оно было предложено американским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных («изломанных») самоподобных структур, которыми он занимался.

По определению, данному Мандельбротом, «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому» . Фрактал - это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба (см. рис. 6). Масштабная инвариантость, наблюдаемая во фракталах, может быть либо точной, либо приближённой.

Рисунок 6. Самоподобие фракталов на примере множества Мандельброта

С математической точки зрения фрактал - это, прежде всего, множество дробной размерности .

Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал научные результаты ученых, работавших в период 1875-1925 гг. в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф).

Фрактальная геометрия -- это революция в математике и математическом описании природы. Вот как об этом пишет сам первооткрыватель фрактальной геометрии Б.Мандельброт: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака -- это не сферы, горы -- это не конусы, линии берега -- это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности» .

Мандельброт показал, что геометрия реального мира не евклидова, а фрактальная. «Правильные» евклидовы объекты являются математической абстракцией, природа же предпочитает негладкие, шероховатые, зазубренные формы. К евклидовой геометрии добавилась новая геометрия, отличие которой состоит в том, что она не оперирует гладкими объектами и привычными формами типа треугольника, квадрата, круга, шара и т.п. Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и природные образования. Снежинку, морского конька, ветви деревьев, разряд молнии и горные массивы можно нарисовать, используя фракталы. Поэтому многие современные ученые говорят о том, что природа имеет свойство фрактальности.

Фрактальная размерность

Главная особенность фрактальных объектов состоит в том, что для их описания недостаточно «стандартной» топологической размерности (для пространства, для поверхности - , для линии - , для точки), которая, как известно, всегда является целым числом. Под размерностью понимали минимальное число параметров, необходимых для описания положения точки в пространстве. Несостоятельность такого наивного восприятия стала очевидной после открытия взаимно однозначного соответствия между точками отрезка и квадрата и непрерывного отображения отрезка на квадрат (см. рис. 7). Первое из них было построено Кантором (1877 г.), второе -- Пеано (1890 г.).

Рисунок 7. Построение линии Пеано

Фракталам свойственна геометрическая «изрезанность». Поэтому используется специальное понятие фрактальной размерности, введенное Ф. Хаусдорфом и А.С. Безиковичем. Применительно к идеальным объектам классической евклидовой геометрии она давала те же численные значения, что и топологическая размерность, однако новая размерность обладала более тонкой чувствительностью ко всякого рода несовершенствам реальных объектов, позволяя различать и индивидуализировать то, что прежде было безлико и неразличимо. Этот тонкий инструмент позволяет сделать заключение, к какому обычному геометрическому объекту -- точке, линии или плоскости - ближе конкретное экзотическое фрактальное множество.

Мандельброт дал строгое математическое определение фрактала, как множества, хаусдорфова размерность которого, строго больше его топологической размерности. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная кривая вторгается в двумерное пространство, потому как ее размерность находится между 1 и 2. Фракталы - бесконечно-изломанные, «махровые» линии. Они напоминают гармошку, каждый кусочек которой, даже очень маленький, если попытаться его распрямить, оказывается бесконечно длинным.

Обсудим фрактальную размерность на примере регулярных фракталов (математическая абстракция). Рассмотрим сначала отрезок единичной длины, который разбит на равных кусков длиной, так что. По мере уменьшения значение растёт линейно, что и следовало ожидать для одномерной кривой. Аналогично, если мы разделим квадрат единичной площади на равных квадратиков со стороной, то получим - ожидаемый для двумерного объекта результат. Можно утверждать, что в общем случае, где - размерность объекта (см. рис. 8).

Рисунок 8. Покрытие объекта n-мерными кубиками

Следовательно, логарифмируя обе части этого равенства и перейдя к пределу при стремящемся к нулю, можно выразить размерность в виде:

Это равенство является определением хаусдорфовой или фрактальной размерности, которая обычно принимает дробные значения.

Приведем пример множества, состоящего из отдельных точек, но имеющих их столько, сколько и любой отрезок действительной оси. Возьмем отрезок длины 1. Разделив его на три равные части, исключим среднюю часть. С оставшимися двумя отрезками проделаем ту же процедуру и в результате получим 4 отрезка в 1/9 длины каждый и т.д. до бесконечности -- рис. 9.

Рисунок 9. Построение множества Кантора

Множество точек, возникшее после этой процедуры, и является множеством Кантора. Нетрудно заметить, что длина этого множества равна нулю. Действительно,

Найдем теперь его хаусдорфову или фрактальную размерность. Для этого выберем в качестве «эталона» отрезок длиной

Минимальное число таких отрезков, необходимых для покрытия множества, равно

Поэтому его фрактальная размерность

Также, размерность можно определить, исходя из зависимости изменения размеров той части пространства, которую занимает объект, от изменения его линейных размеров :

Для линии. Для плоскости. Для объема.

Проделаем такой эксперимент: возьмем равносторонний треугольник и будем последовательно заменять каждую линию, составляющую его, на четыре других, как это показано на рисунке 10.

Рисунок 10. Построение снежинки Кох

Повторяя эту операцию достаточно долго, мы получим некий объект, напоминающий своим внешним видом снежинку (называется - снежинка Кох), причем с каждым шагом длина кривой, ограничивающей площадь снежинки, увеличивается на одну треть. Ее размерность будет равна, так как при каждом увеличении снежинки в три раза длина кривой увеличивается в четыре. Если устремить число итераций к бесконечности, получится объект, конечная площадь которого ограничивается бесконечной кривой.

Мандельброт предложил следующее пробное определение фрактала:

Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности

Это определение в свою очередь требует определений терминов множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича и топологическая размерность которая всегда равна целому числу. Для наших целей мы предпочитаем весьма нестрогие определения этих терминов и наглядные иллюстрации (с использованием простых примеров), а не более строгое, но формальное изложение тех же понятий. Мандельброт сузил свое предварительное определение, предложив заменить его следующим

Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

Строгого и полного определения фракталов пока не существует . Дело в том, что первое определение при всей правильности и точности слишком ограничительно. Оно исключает многие фракталы, встречающиеся в физике. Второе определение содержит существенный отличительный признак, подчеркиваемый в нашей книге и наблюдаемый в эксперименте: фрактал выглядит одинаково, в каком бы масштабе его ни наблюдать. Взять хотя бы некоторые прекрасные кучевые облака. Они состоят из огромных «горбов», на которых возвышаются «горбы» поменьше, на тех - «горбы» еще меньше и т.д. вплоть до самого малого масштаба, который вы в состоянии разрешить. На самом деле, располагая только внешним видом облаков и не используя никакой дополнительной информации, размер облаков оценить невозможно.

Фракталы, о которых пойдет речь в этой книге, можно рассматривать как множества точек, вложенные в пространство. Например, множество точек, образующих линию в обычном евклидовом пространстве, имеет топологическую размерность и размерность Хаусдорфа - Безиковича Евклидова размерность пространства равна Так как для линии линия, согласно определению Мандельброта, не фрактальна, что подтверждает разумность определения. Аналогично множество точек, образующих поверхность в пространстве с имеет топологическую размерность Мы видим, что и обычная поверхность не фрактальна независимо от того, насколько она сложна. Наконец, шар, или полная сфера, имеет Эти примеры позволяют определить некоторые из рассматриваемых нами типов множеств.

Центральное место в определении размерности Хаусдорфа - Безиковича и, следовательно, фрактальной размерности занимает понятие расстояния между точками в пространстве. Как измерить «величину»

множества У точек в пространстве? Простой способ измерить длину кривых, площадь поверхностей или объем тела состоит в том, чтобы разделить пространство на небольшие кубы с ребром 8, как показано на рис. 2.5. Вместо кубов можно было бы взять небольшие сферы диаметром 8. Если поместить центр малой сферы в какой-нибудь точке множества, то все точки, находящиеся от центра на расстоянии окажутся покрытыми этой сферой. Подсчитывая число сфер, необходимых для покрытия интересующего нас множества точек, мы получаем меру величины множества. Кривую можно измерить, определяя число прямолинейных отрезков длины 8, необходимых для того, чтобы покрыть ее. Разумеется, для обычной кривой Длина кривой определяется предельным переходом

В пределе при мера становится асимптотически равной длине кривой и не зависит от 8.

Множеству точек можно поставить в соответствие и площадь. Например, площадь кривой можно определить, указывая число кругов или квадратов, необходимых для ее покрытия. Если -число этих квадратов, а -площадь каждого из них, то площадь кривой равна

Аналогично объем V кривой можно определить как величину

Рис. 2.5. Измерение «величины» кривой.

Разумеется, что для обычных кривых обращаются в нуль при , и единственной представляющий интерес мерой является длина кривой.

Как нетрудно видеть, для обычной поверхности число квадратов, необходимых для ее покрытия, определяется в пределе при выражением где площадь поверхности.

Поверхности можно поставить в соответствие объем, образуя сумму объемов кубов, необходимых для покрытия поверхности:

При этот объем, как и следует ожидать, обращается в нуль.

Можно ли поверхности поставить в соответствие какую-нибудь длину? Формально мы можем принять за такую длину величину

которая расходится при Этот результат имеет смысл, так как поверхность невозможно покрыть конечным числом прямолинейных отрезков. Мы заключаем, что единственной содержательной мерой множества точек, образующих поверхность в трехмерном пространстве, является площадь.

Нетрудно видеть, что множества точек, образующих кривые, могут

Рис. 2.6. Измерение «величины» поверхности.

быть закрученными так сильно, что длина их окажется бесконечной, и, действительно, существуют кривые (кривые Пеано), заполняющие плоскость. Существуют также поверхности, изогнутые столь причудливым образом, что они заполняют пространство. Для того чтобы мы могли рассматривать и такие необычные множества точек, полезно обобщить введенные нами меры величины множества.

До сих пор, определяя меру величины множества точек У в пространстве, мы выбирали некоторую пробную функцию отрезок прямой, квадрат, круг, шар или куб - и покрывали множество, образуя меру Для прямолинейных отрезков, квадратов и кубов геометрический коэффициент для кругов и для сфер Мы заключаем, что в общем случае при мера равна нулю или бесконечности в зависимости от выбора -размерности меры. Размерность Хаусдорфа-Безиковича множества есть критическая размерность, при которой мера изменяет свое значение с нуля на бесконечность:

Мы называем -мерой множества. Значение при часто конечно, но может быть равно нулю или бесконечности; существенно, при каком именно значении величина изменяется скачком. Заметим, что в приведенном выше определении размерность Хаусдорфа-Безиковича фигурирует как локальное свойство в том смысле, что эта размерность характеризует свойства множеств точек в пределе при исчезающе малом диаметре, или размере, 8 пробной функции, используемой для покрытия множества. Следовательно, фрактальная размерность может также быть локальной характеристикой множества. В действительности здесь существует несколько тонких пунктов, заслуживающих рассмотрения. В частности, определение размерности Хаусдорфа-Безиковича позволяет покрывать множество «шарамтк не обязательно одного и того же размера при условии, что диаметры воех шаров меньше 8. В этом случае -мера есть нижняя грань, т. е., грубо говоря, минимальное значение, получаемое при всех возможных покрытиях. Примеры см. в разд. 5.2. Строгое математическое изложение вопроса интересующиеся найдут в книге Фальконера .

Введение во фракталы

Основы теории фракталов

Методы определения фрактальных характеристик объектов

Чтобы понять природу, человек строит объекты различной геометрии. В природе объекты встречаются самых разных размеров - от атомных масштабов до Вселенной. Геометрия траекторий частиц, линий тока в гидродинамике, волн, обводов корабельных корпусов и береговых линий, ландшафтов, гор, островов, рек, ледников и отложений, зерен в скалистых породах, металлах и композитных материалах, растений, насекомых и живых клеток, а также геометрическая структура кристаллов, молекул химических веществ и, в частности, протеинов - словом, геометрия природы занимает центральное место в различных областях естествознания, и поэтому люди склонны считать геометрические аспекты чем-то само собой разумеющимся. Представители каждой области стремились развить свои приспособленные к ее потребностям понятия (например, такие, как морфология, четырехмерное пространство, текстура), интуитивно используемые учеными, работающими именно в этой области. По традиции, основой интуитивного понимания геометрии природы служили евклидовы прямые, окружности, сферы, тетраэдры и т.п.

Математики разработали и математические понятия, выходившие за рамки традиционной геометрии, однако, в прошлом эти понятия не привлекли к себе должного внимания со стороны представителей естественных наук из-за весьма абстрактного и «педантичного» изложения и из-за предостережений относительно «опасности», связанной с использованием такого рода нетрадиционных геометрических представлений.

Своими яркими и фундаментальными работами Бенуа Мандельброт пробудил всеобщий интерес к фрактальной геометрии - понятию, введенному самим Мандельбротом. В частности, он поведал миру об объектах, названных им фракталами, избрав для этого весьма необычную форму изложения. Книга Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» - общепризнанный стандартный справочник по фракталам, содержащий как элементарные понятия, так и необычайно широкий круг новых и отнюдь не элементарных идей, находящихся сейчас в центре внимания тех, кто занимается геометрией фракталов. Синтетические фрактальные пейзажи выглядят настолько правдоподобно, что большинство людей принимают их за естественные. Появление в последние годы компьютеров и компьютерной графики привело к исследованию нетрадиционных геометрических объектов во многих областях естественных наук.

Мандельброт написал огромное количество научных работ, посвященных геометрии явлений, наблюдаемых во многих областях человеческой деятельности. Он исследовал фрактальную геометрию изменений цен и распределений заработной платы, статистики ошибок при вызовах на телефонных станциях, частот слов в печатных текстах, различных математических объектов и многого другого. Мандельброт написал три книги о фрактальной геометрии, сделавшие более доступными его специальные работы и вдохновившие многих на применение фрактальной геометрии в области собственных исследований.

Понятие «фракталы» захватило воображение ученых, работающих во многих областях науки, и работы, в которых фракталы обсуждаются с самых разных позиций, появляются теперь почти ежедневно. Книги Мандельброта замечательны в нескольких отношениях. И прежде всего - они междисциплинарны: автор рассматривает геометрию деревьев, русел рек, легких, а также изменения уровней водной поверхности, турбулентность, экономику, частоты появления слов в различных текстах и многое-многое другое. Все эти, казалось бы, разнородные вопросы Мандельброт связывает со своими геометрическими представлениями. В своих книгах он умышленно избегает введений и заключений, тем самым подчеркивая свое глубокое убеждение в том, что по мере расширения работ в области фрактальной геометрии, его идеи позволят все более глубоко постигать самую суть геометрии природы. Он предлагает лишь пробное определение понятия «фрактал» и тут же поспешно заявляет, что предложенное им определение отнюдь не является окончательным! Более того, впоследствии он отказывается от своего определения. В своих книгах Мандельброт пытается убедить читателя в том, что фрактальная геометрия важна для описания природы, но ускользает от читателя, когда тот пытается проследить за деталями аргументации автора. Математические доказательства перемешиваются на страницах книг Мандельброта с анекдотами и историческими сведениями. Совершенно разные вопросы перемешаны в его книгах так, что разделить их практически невозможно. Но, вооружившись терпением, любознательный читатель найдет в книгах Мандельброта необычайно широкий спектр замечательных идей, глубоких замечаний и сможет почерпнуть в них подлинное вдохновение -эти книги поистине замечательны!

Наиболее сильное впечатление производят цветные иллюстрации. На них изображены фрактальная «планета», восходящая над горизонтом своей луны, горы, долины и острова, которых никогда не было. Эти иллюстрации, выполненные Р.Ф. Фоссом, получены с помощью алгоритмов, обеспечивающих фрактальную природу пейзажей. Все пейзажи выглядят очень естественно, по-видимому, фракталы каким-то образом схватывают суть топографии земной поверхности.

Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия», появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. В его работах использованы научные результаты трудов ученых, работавших в 1875-1925 годах в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф и другие). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Внимание, которое привлекают фракталы, видимо, имеет несколько причин. Во-первых, фракталы очень просты при моделировании многих явлений и процессов, которые трудно отличить от естественных. Во-вторых, при фрактальном анализе процессы сложной формы представляются в достаточно простой и наглядной форме, что позволяет получить больше информации о процессе.

В настоящее время, наибольшее применение фракталы нашли в машинной графике и компьютерных системах сжатия информации. Они приходят на помощь, например, когда требуется с помощью нескольких коэффициентов задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Фракталом, по определению Мандельброта, называется объект, размерность которого не равна его топологической размерности и может принимать нецелочисленные значения. Такая размерность называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича или фрактальной размерностью. Многочисленные исследования показывают, что фрактальная геометрия является обобщением евклидовой, имеющей дело с целочисленными топологическими размерностями (О - точка, 1 - линия, 2 - плоскость, 3 - объем). К фрактальным объектам относятся все природные объекты, например, такие как береговая линия, имеющая размерность 1,52 (береговая линия Норвегии), облака - 2,31, кровеносная система человека - 2,7 и т.п. На данный момент обоснованной физической интерпретации дробной размерности нет, хотя предпринимаются попытки ее создать.

Основным свойством фракталов является самоподобие . В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем объекте, т.е. вид фракталов практически не меняется при любом увеличении. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Процессы, порождающие самоподобные структуры , известны довольно давно. Это процессы с обратной связью , в которых одна и та же операция повторяется снова и снова, при этом результат одной итерации является начальным значением следующей. Но здесь очень важно, чтобы зависимость между результатом и начальным значением была нелинейной. Одним из исследователей фракталов был Гастон Жюлиа, который открыл множество Жюлиа, представляющее собой границу, в различных частях которой встречается одна и та же форма разных масштабов. Он установил, что можно восстановить всю границу по любой ее части. С тех пор в математике и в физике стали широко изучаться самоподобные структуры, в том числе и фракталы.

Все многообразие фракталов делится на геометрические, алгебраические и стохастические.

Геометрические фракталы самые наглядные. В случае, если геометрические фракталы двухмерные их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности, если фракталы трехмерные), называемой затравкой или первоначальным генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков , составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал . На рисунках 1.1-1.6 представлены наиболее известные геометрические фракталы и их первоначальные генераторы.

Рис. 1.2. Кривая Коха (а) и ее первоначальный генератор (б)

Алгебраические фракталы . Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или, как говорят, аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры. Типичными представителями этого класса фракталов являются множества Жюлиа (рис. 1.7) и множество Мандельброта (Рис. 1.8).

Стохастические фракталы получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом меняются какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные: несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Существуют и другие классификации фракталов, например, деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

Контрольные вопросы

1. Кто и когда ввел понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия»?

2. Что означает слово «фрактал»?

3. Почему фракталы нашли свое применение в человеческой деятельности?

4. Каково основное свойство фракталов?

5. На какие классы делятся фракталы?

6. Как образуются геометрические фракталы?

7. Что такое первоначальный генератор для геометрических фракталов?

8. Примеры геометрических фракталов.

9. Как образуются алгебраические фракталы?

10. Что такое аттрактор?

11. Примеры алгебраических фракталов.

12. Как образуются стохастические фракталы?

13. Примеры стохастических фракталов.

Чтобы понять, что такое фрактальная размерность, для примера рассмотрим береговую линию Норвегии (рис. 1.9).

Какова ее длина? В масштабе карты хорошо видны глубокие фиорды на западном побережье. Идя вдоль берега, то и дело можно встретить скалы, острова, бухты и обрывы, которые похожи друг на друга, даже если они не обозначены на самых подробных картах. Прежде чем ответить на поставленный вопрос, необходимо решить, стоит ли включать в береговую линию острова. Как быть с реками? В каком месте фиорд перестает быть фиордом и где именно он переходит в реку? Ответить на эти вопросы иногда легко, иногда не очень. Но, даже если мы сумеем удовлетворительно ответить на все вопросы такого рода, одна трудность все же остается. Дело в том, что при измерении длины береговой линии, циркулю можно придать раствор, соответствующий км и сосчитать число шагов , которые понадобились бы, чтобы пройти по карте из конца в конец все побережье.

В спешке можно было бы выбрать раствор циркуля настолько большим, что не понадобилось бы заботиться даже о самых глубоких фиордах, и принять за длину береговой линии величину . Если подобная оценка не удовлетворяет, то можно выбрать несколько меньший раствор циркуля и повторить все сначала. На этот раз в длину береговой линии вошли бы и наиболее глубокие фиорды. Для еще более точного подсчета длины береговой линии понадобятся более точные карты. Ясно, что при решении такого рода вопросов уточнения можно вносить бесконечно. Всякий раз, когда мы будем увеличивать разрешающую способность, длина береговой линии будет разрастаться. Кроме того, при использовании циркуля будут возникать проблемы с островами и реками. Альтернативный способ измерения длины береговой линии состоит в том, чтобы покрыть карту сеткой, как показано в верхней части рисунка 1.9. Пусть квадратные ячейки сетки имеют размеры . Число таких ячеек, необходимых для покрытия береговой линии на карте, приблизительно равно числу шагов, за которое можно обойти по карте береговую линию циркулем с раствором . Уменьшение приводит к увеличению числа ячеек, необходимых для покрытия береговой линии. Если бы береговая линия Норвегии имела вполне определенную длину , то можно было бы ожидать, что число шагов циркуля или число квадратных ячеек , необходимых для покрытия береговой линии на карте, будет обратно пропорционально , а величина при уменьшении будет стремиться к постоянной . Однако это не так.

На рисунке 1.11 воспроизведен график (данные взяты из книги Мандельброта «Чему равна длина береговой линии Британии?»), на котором показана кажущаяся длина береговых линий и сухопутных границ. Все точки выстраиваются (в дважды логарифмическом масштабе) вдоль прямых. Угловой коэффициент этих прямых равен 1 - D где D - фрактальная размерность береговой линии (или сухопутной границы). Береговая линия Великобритании имеет D~ 1,3. Мандельброт приводит также данные для окружности и находит, что .