Теоретические аспекты формирования оптимальных инвестиционных портфелей с использованием безрисковых кредитов и заемных средств. Модель оценки капитальных активов – CAPM (У. Шарпа) в Excel Модель шарпа основанная на зависимости

Модель У. Шарпа (концепция коэффициента β). Прогнозирование доходности финансовых инструментов невозможно без учета факторов риска. В первую очередь, рисков систематических. Риски измеряются с помощью методов теории вероятности в виде дисперсии (среднего квадратичного отклонения). К i – возможный доход, p i – вероятность.

Коэффициент вариации показывает риск, приходящийся на единицу доходности. . .

Среднерыночная доходность может быть измерена с помощью фондовых индексов. У. Шарп поставил задачу найти связь между колебаниями рынка и колебаниями конкретной акции. Все акции, котирующиеся на бирже, представляют рыночный портфель.

К

δ

Все точки внутри кривой – допустимые портфели . Точки на прямой – эффективные портфели – это портфели, которые обеспечивают либо максимальную доходность при допустимом риске, либо минимальные риски при заданной доходности.

Но для конкретного инвестора необходим портфель, который отвечает всем требованиям. Такое сочетание доходности и риска, которое устраивает конкретного инвестора представляет собой оптимальный портфель .

CML (capital market line) – линия рынка капитала, линейная комбинация между безрисковым активом и рыночным портфелем. Она показывает, какая связь существует между доходностью безрискового актива и доходностью рыночного портфеля. Точка пересечения линии рынка капитала с осью доходностью дает величину безрисковой ставки (R f).

CML показывает, что ожидаемая норма доходности любого эффективного портфеля равна безрисковой ставке «плюс» рисковая премия. Она иллюстрирует, что чем больше доходность, тем больше риск.

Эта доходность может быть рассчитана следующим образом: . − рыночное среднее квадратичное отклонение. − портфель средней квадратичного инвестора.

Шарп исследовал взаимосвязь доходности между колебаниями рынка и конкретного актива.

Финансовые аналитики занимаются прогнозированием среднерыночной доходности (фондовых индексов), а конкретному инвестору необходимо знать доходность конкретной акции.

Если построить регрессию через точки, то можно получить SML (share market line), и она будет выглядеть следующим образом: . Это и есть модель Шарпа (модель оценки капитальных активов – CAMP).

Эта модель позволяет оценить требуемую доходность по конкретной акции (цену привлечения капитала). Коэффициент β в данном случае – это тот самый коэффициент, которые показывает, как связаны колебания рынка и конкретной ценной бумаги. С точки зрения математики, .

Эти коэффициенты публикуются. Например, на сайте Damodaram.com. Например, на конец 2007 г. по Российским компаниям, β был следующим. По «голубым фишкам», β=1. Это означает, что акции этих компаний колеблются точно так же, как и фондовый рынок. Если β>1, то размах колебаний доходности акции больше, чем колебания рынка. Например, строительные компании, высокотехнологичные отрасли. Систематический риск для данных ценных бумаг больше среднерыночного (больше дисперсия). Если коэффициент β<1, это значит, что размах колебаний доходности конкретной акции меньше среднерыночного и, следовательно, систематический риск тоже меньше среднерыночного. Примером таких компаний являются компании пищевой промышленности.

− рисковая премия. − рыночная рисковая премия. Рассчитывается глобальная рисковая премия и страновые рисковые премии. В частности на Damodaran.com есть такие данные : глобальная рисковая премия = 3,7%, по Европе – 3,9%. По странам, самые низкие рисковые премии у Дании, 1,8%, Бельгия – 2,6%, Швейцария – 2,1%, США – 4,2%, Япония – 5,1%, Германия – 5,4%, Ирландия – 2,6%, Норвегия – 2%.

Страновые риски определяются в т.ч. еще и кредитным рейтингом.

Достоинства модели состоят в доступности исходных данных, простоте расчета и широком распространении. Недостатки: это однофакторная модель, она не учитывает влияния других факторов, существует большая погрешность при расчетах коэффициента β из-за расхождения во мнениях у разных аналитиков.

Недостатки модели CAPM преодолеваются с помощью некоторых поправок. Рассчитывается модифицированная модель CAPM – MCAPM. В ней учитываются такие факторы, как страновой риск, премия для небольших компаний, риск внедрения новой продукции или новых инвестиционных проектов.

Существуют другие модели многофакторные, например, трехфакторная модель: Фама-Фрейч . . β − чувствительность актива к рыночной доходности, с – чувствительность к размеру компании, d – чувствительность актива к коэффициенту Тобина. К HMB – рыночная премия за риск, K SMB – ожидаемая премия за размер.

Например , R f = 6,8%, β=0,9%, c=0,5, K SMB = 6,3, K HMB = 5%, d = 0,3. R m = 8%.

6,8+(8-6,8)*0,9+6,3*0,5+5*0,3= получаем ожидаемая доходность или требуемая доходность.

Преимущество модели в том, что она использует три фактора. Ее недостаток в том, что коэффициенты c и d нигде не публикуются и должны быть рассчитаны самими аналитиками.

Многофакторная модель . В ней помимо трех названных факторов учитываются и другие: ожидаемая инфляция, рост ВВП и другие экономические и политические факторы.

На практике модель CAPM является оптимальной.

Пример построения модели CAPM приведен в статье:
Построение модели CAPM для российского фондового рынка.

Создадим новый рабочий лист в Excel и построим следующую таблицу. Используя поиск решений нам необходимо найти доли акций в новом инвестиционном портфеле. На рисунке, они помечены синей колонкой. Перед нами стоит прямая задача максимизации доходность инвестиционного портфеля с ограничением на риск. Максимальный риск установим на отметке 5%. Заполним дополнительные столбцы для расчета доходности и риска.

R*W= B2*G2 – произведение средней доходности и весов;
β*W=G2*C2 – произведение бета акции и веса;
(β*W)^2=I2*I2 – квадрат произведения;
σ^2*W^2=D2*D2*G2*G2 – произведение квадратов;
СУММА W =СУММ(G2:G6) –сумма весов портфеля.

Формула расчета целевой ячейки с доходностью портфеля (C9) будет следующая.
=СУММ(B2*G2;B3*G3;B4*G4;B5*G5;G6*B6)+F4*СУММ(C2*G2;C3*G3;C4*G4;C5*G5;C6*G6)

Формула расчета риска инвестиционного портфеля:
=КОРЕНЬ(J7*E4*E4+K7)

Для нахождения оптимальной структуры портфеля загрузим надстройку «Поиск решений». Выберем целевую функция – ячейку с доходностью (С9). Ее мы будем максимизировать. Для этого будем изменять доли акций в портфеле – диапазон ячеек C2:G6. Необходимо так же наложить ограничения на риск и веса акций. Веса должны быть положительны, сумма их должна не превышать единицы и риск рассчитанный в ячейке С10 должен быть меньше 5%.

В итоге мы получаем расчет долей акций в нашем инвестиционном портфеле. В итоге мы получили следующее соотношений весов акций в портфеле. Доля акций Аэрофлота (AFLT) составляет 37.7%, доля акций Якутэнерго (YKEN) составляет 40.5%, доля акций Сбербанка (SBER) 1.3%, доля акций Лукойла (LKOH) 0% и доля акций ГМКНорНикель (GMKN) 20.5%.

И так проведем качественное сравнение трех моделей формирования инвестиционного портфеля: модель Г.Марковица, модель У.Шарпа (CAPM) и модель «Квази - Шарпа».

Модель Марковица рационально использовать на стабильных рынках с повышающей доходностью, когда портфель формируется из акций, принадлежащих различным отраслям. Недостаток этой модели - это оценка доходности как среднеарифметическое доходностей за предыдущие периоды.

Модель У. Шарпа применяется для рассмотрения большого количества ценных бумаг, охватывающих большую часть фондового рынка. Недостаток этой модели – это необходимость прогнозирования доходности фондового рынка и безрисковую ставку доходности.

Модель «Квази- Шарпа » рационально использовать при рассмотрении небольшого числа ценных бумаг, принадлежащих одной или нескольким отраслям. С помощью этой модели хорошо поддерживать оптимальную структуру уже созданного инвестиционного портфеля. Недостатком этой модели можно считать не учет глобальных тенденций, которые влияют на доходность портфеля.

Как было отмечено выше, модель Марковица не дает возможности выбрать оптимальный портфель, а определяет набор эффективных портфелей. Каждый из этих портфелей обеспечивает наибольшую ожидаемую доходность для определения уровня риска. Однако главным недостатком модели Марковица является то, что она требует очень большого количества информации. Гораздо меньшее количество информации используется в модели У. Шарпа. Последнюю можно считать упрощенной версией модели Марковица. Если модель Марковица можно назвать мультииндексной моделью, то модель Шарпа называют диагональной моделью или моделью единичного индекса.
Согласно Шарпу, прибыль на каждую отдельную акцию строго коррелирует с общим рыночным индексом, что значительно упрощает процедуру нахождения эффективного портфеля. Применение модели Шарпа требует значительно меньшего количества вычислений, поэтому она оказалась более пригодной для практического использования.
Анализируя поведение акций на рынке, Шарп пришел к выводу, что вовсе не обязательно определять ковариацию каждой акции друг с другом. Вполне достаточно установить, как каждая акция взаимодействует со всем рынком. И поскольку речь идет о ценных бумагах, то, следовательно, нужно взять в расчет весь объем рынка ценных бумаг. Однако нужно иметь в виду, что количество ценных бумаг и прежде всего акций в любой стране достаточно велико. С ними осуществляется ежедневно громадное количество сделок как на биржевом, так и внебиржевом рынке. Цены на акции постоянно изменяются, поэтому определить какие-либо показатели по всему объему рынка оказывается практически невозможным. В то же время установлено, что если мы выберем некоторое количество определенных ценных бумаг, то они смогут достаточно точно охарактеризовать движение всего рынка ценных бумаг. В качестве такого рыночного показателя можно использовать фондовые индексы.
Рассматривая выше взаимосвязь поведения акций друг с другом, мы установили, что достаточно трудно или почти невозможно найти такие акции, доходность которых имеет отрицательную корреляцию.
Большинство акций имеют тенденцию расти в цене, когда происходит рост экономики, и снижаться в цене, когда происходит спад в экономике.
Разумеется, можно найти несколько акций, которые выросли в цене из-за особого стечения обстоятельств, в то время когда другие акции падали в цене. Труднее найти такие акции и дать логическое объяснение тому, что эти акции будут повышаться в цене в будущем, в то время как другие акции будут снижаться в цене. Таким образом, даже портфель, состоящий из очень большого количества акций, будет иметь высокую степень риска, хотя риск будет значительно меньше, чем если бы все средства были вложены в акции одной компании.
Для того чтобы уяснить более точно, какое влияние структура портфеля оказывает на риск портфеля, обратимся к графику на рис. 12.9, который показывает, как снижается риск портфеля, если

число акций в портфеле увеличивается. Стандартное отклонение для «среднего портфеля», составленного из одной акции, котируемой на Нью-Йоркской фондовой бирже (аД составляет приблизительно 28%, Средний портфель, составленный из двух случайно выбранных акций, будет иметь меньшее стандартное отклонение - около 25%. Если число акций в портфеле довести до 10, то риск такого портфеля снижается примерно до 18%. График показывает, что риск портфеля имеет тенденцию к снижению и приближается к некоторому пределу по мере того, как величина портфеля увеличивается. Портфель, состоящий из всех акций, который принято называть рыночным портфелем, должен был бы иметь стандартное отклонение около 15,1%. Таким образом, почти половина риска, присущего средней отдельной акции, может быть исключена, если акции будут находиться в портфеле, состоящем из 40 или более акций. Тем не менее некоторый риск всегда остается, как бы широко ни был диверсифицирован портфель.
Та часть риска акций, которая может быть исключена путем диверсификации акций в портфеле, называется диверсифицируемым риском (синонимы: несистематический, специфический, индивидуальный); та часть риска, которая не может быть исключена, называется недиверсифицируемым риском (синонимы: систематический, рыночный).
Специфический фирменный риск связан с такими явлениями, как изменения в законодательстве, забастовки, удачная или неудачная маркетинговая программа, заключение или потеря важных кош трактов и с другими событиями, которые имеют последствия для конкретной фирмы. Воздействие таких событий на портфель акций можно исключить путем диверсификации портфеля. В этом случае неблагоприятные явления в одной фирме будут перекрываться благоприятным развитием событий в другой фирме. Существенно важным при этом является то, что значительная часть риска всякой отдельной акции может, быть исключена путем диверсификации.
Рыночный риск обусловлен наличием факторов, которые оказывают влияние на все фирмы. К таким факторам относятся война, инфляция, спад производства, повышение процентных ставок и др. Поскольку такие факторы действуют на большинство фирм в одном и том же направлении, то рыночный или систематический риск не может быть устранен путем диверсификации.
Известно, что инвесторы требуют премию за риск, и чем выше степень риска, тем выше требуемая норма прибыли. Однако поскольку инвесторы держат портфель акций и сталкиваются скорее с портфельным риском, чем с риском индивидуальной акции в портфеле, то возникает вопрос; как оценить риск каждой отдельной акции?
Ответ на этот вопрос дает модель оценки финансовых активов. Относящийся к делу риск индивидуальной акции - это ее вклад в риск широко диверсифицированного портфеля. Например, риск акции «Дельта» для индивидуального инвестора, имеющего портфель из 40 акций, или для инвестиционного фонда, имеющего портфель из 300 акций, будет оцениваться тем вкладом, который акция «Дельта» вносит в портфельный риск. Акция может иметь очень высокую степень риска, если ее держать саму по себе. Однако если значительная часть ее риска может быть исключена путем диверсификации, то тогда ее относящийся к делу риск, т. е. ее вклад в риск портфеля, может быть очень незначительным.
Возникает вопрос: не являются ли все акции равными по степени риска в том смысле, что добавление их к широко диверсифицированному портфелю оказывает одинаковое влияние на риск портфеля? Ответ однозначен - нет. Различные акции будут воздействовать на риск портфеля по-разному. Как можно измерить этот риск? Риск, который остается после диверсификации портфеля, - это риск, присущий рынку как целому, или рыночный риск. Поэтому относящийся к делу риск индивидуальной акции может быть измерен тем, в какой мере данная акция стремится двигаться вверх и вниз вместе с рынком.
Понятие «бета»
Тенденция акции «двигаться» вместе со всем рынком измеряется с помощью коэффициента «бета» (^-коэффициента), характеризующего степень ее изменчивости по отношению к «средней акции», в качестве которой рассматривается акция, стремящаяся «двигаться» синхронно со всем рынком акций. Такая акция по определению будет иметь (3-коэффициент, равный 1.
Это означает, что если доходность по рынку в целом увеличивается на 10%, то доходность «средней акции» возрастает в такой же степени, и наоборот -при падении - падает. Портфель акций с (3-коэффициентом, равным единице, будет иметь такую же степень риска, как и весь рынок. Если для акции р = 0,5, это означает, что ее доходность будет повышаться или падать вдвое меньше, чем у всего рынка. Портфель акций с таким ^коэффициентом будет иметь вдвое меньшую степень риска по сравнению с портфелем, имеющим Р~1. В то же время если акция имеет р = 2, то ее подвижность вдвое выше, чем у средней акции. Портфель состоящий из таких акций, будет вдвое рисковее, чем портфель из «средних акций». Стоимость портфеля акций с р = 2 растет или падает значительно быстрее, чем стоимость всего рынка акций.
Предположим, что имеются три акции А, В и С, доходности которых за три года представлень! в табл. 12.5.
Таблица 12.5
Динамика доходности акций А, В, С и рыночного портфеля
Доходность всех трех акций изменяется в одном направлении, но с разной скоростью. В 2000 г. все три акции имели одинаковую доходность 15%, которая соответствовала доходности рыночного портфеля. В 2001 г. доходность рыночного портфеля пошла вниз и стала отрицательной (-10%), доходность акций В упала до нуля, а по акциям А наблюдался наибольший спад - доходность достигла -20%. В 2002 г. доходность акции С увеличилась в полном соответствии с рыночным портфелем, тогда как по акции В она возросла в меньшей степени, а по акции А - в большей степени.
На рис. 12.10 представлены графики относительной подвижности трех акций. Наклон линии по отношению к горизонтальной оси показывает, как каждая акция движется по отношению ко всему рынку. Наклон этой линии есть не что иное, как (V коэффициент.
В США такие известные компании, как Merrill Lynch и Value Line рассчитывают 3-коэффициенты для многих сотен компаний. Для большинства акций 3-коэффициент меняется от 0,5 до 1,5, а его среднее значение для всех акций по определению равно 1.
Теоретически 3-коэффициент может быть отрицательным; это имеет место в случае, если доходность рыночного портфеля растет, а по отдельной акции она падает, и наоборот, В этом случае линия регрессии на рис. 12.10 будет иметь наклон вниз. В действительно

сти это случается чрезвычайно редко. Так, из 1700 акций, для которых рассчитываются 3_ коэффициенты фирмой Value Line, нет ни одной акции с отрицательным 3-коэффициентом.
Если 3-коэффициент у акции выше, чем среднерыночное его значение (З 1), и эту акцию добавить к портфелю с 3= 1, тогда 3-коэф- фициент портфеля возрастает, соответственно увеличивается и риск портфеля. Напротив, если к портфелю с (3=1 добавить акцию с рlt;}